5. 단일 큐비트 양자 게이트

회로 모델

회로는 기본 연산을 수행하는 게이트의 나열로 구성됩니다.

기존의 컴퓨터도 AND, OR, NOT 등의 논리 게이트로 구성된 회로로 만들어집니다.

양자 전송(Quantum teleportation) 알고리즘의 회로 - 실행 후 $q_0$의 상태가 $q_2$로 전송된다.

앞으로 배우게될 양자 알고리즘들은 위와 같이 양자 회로로 표현됩니다.

모든 양자 회로는 왼쪽에서 입력을 받아 오른쪽으로 출력이 나오는 형태로 그려집니다.

가로 실선($q_0$, $q_1$, $q_2$)는 큐비트를 나타내고, 두 줄 짜리 가로선(crz, crx)은 기존의 비트를 나타내며,

사각형과 기호로 표시된 블럭들은 양자 게이트를 나타냅니다.

 

단일 큐비트 게이트 (Single qubit gate)

AND, OR, NOT 등의 기존의 논리 게이트는 크게 단항 게이트, 다항 게이트로 나뉩니다.

AND, OR의 경우 입력을 2개 이상 필요로하는 다항 게이트이며, NOT은 입력을 1개만 받는 단항 게이트입니다.

마찬가지로, 양자 게이트 또한 한 개의 큐비트에 대한 게이트와, 두 개의 큐비트에 대한 게이트로 나뉩니다.

 

양자 역학이 가지는 특성인 유니터리성(unitarity)에 의해 모든 양자 게이트는 유니터리 행렬로 표현됩니다.

유니터리 행렬은 켤레 전치가 역행렬과 같은 복소수 행렬입니다.

 

$ \quad \text{unitary martix : } \; U^\dagger U=I \; \left( \Leftrightarrow U^\dagger = U^{-1} \right) $

 

게이트들을 살펴보기 전에, 이전에 공부했던 디랙 표기법을 짚고 넘어갑시다.

켓-브라는 연산의 결과 2x2 행렬이 나오므로, 임의의 2x2 행렬은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

$ \quad U = \begin{pmatrix} u_{00} & u_{01} \\ u_{10} & u_{11} \end{pmatrix} = u_{00} | 0 \rangle \langle 0 | + u_{01}| 0 \rangle \langle 1 | +u_{10}| 1 \rangle \langle 0 | +u_{11}| 1 \rangle \langle 1 |$

 

파울리 게이트 (Pauli gate)

파울리 X, Y, Z 게이트를 연달아 적용한 양자 회로

파울리 게이트는 총 세가지로, x, y, z 총 세가지 종류가 있습니다.

 

파울리 x 게이트

$ \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = | 0 \rangle \langle 1 | + | 1 \rangle \langle 0 | $

 

$ \qquad \Rightarrow \; \begin{cases}\sigma_x |0\rangle = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = |1\rangle \\ \\ \sigma_x |1\rangle = \big(|0\rangle\langle1| + |1\rangle\langle0| \big) |1\rangle = |0\rangle\langle1|1\rangle + |1\rangle\langle0|1\rangle = |0\rangle
\end{cases} $

 

파울리 x 게이트는 $|0\rangle$을 $|1\rangle$로, $|1\rangle$을 $|0\rangle$로 바꾸는 비트 반전을 수행합니다.

이는 $x$축을 기준으로 $\pi$만큼 회전시키는 것과 같습니다.

 

파울리 z 게이트

$ \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = | 0 \rangle \langle 0 | - | 1 \rangle \langle 1 | $

 

$ \qquad \Rightarrow \; \begin{cases}\sigma_z |+\rangle = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = |-\rangle \\ \\ \sigma_z |-\rangle = \big(|0\rangle\langle0| - |1\rangle\langle1| \big)\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}\big(|0\rangle-|1\rangle\big) = \dfrac{1}{\sqrt2}\big(|0\rangle+|1\rangle\big)=|+\rangle \end{cases} $

 

파울리 z 게이트는 $|+\rangle$을 $|-\rangle$로, $|-\rangle$을 $|+\rangle$로 바꾸는 위상 반전을 수행합니다.

이는 $z$축을 기준으로 $\pi$만큼 회전시키는 것과 같습니다.

 

파울리 y 게이트

$ \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} = i\cdot\sigma_x\cdot\sigma_z $

 

파울리 y 게이트는 x, z게이트를 통해 표현될 수 있으며, 비트와 위상을 모두 반전시킵니다.

이는 $y$축을 기준으로 $\pi$만큼 회전시키는 것과 같습니다.

 

여기서 $ \sigma_x $, $ \sigma_y $, $ \sigma_z $를 파울리 행렬이라고 하며, 다음의 식이 성립합니다.

$ \quad \sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_x^2 = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} $

 

즉, 파울리 x, y, z 게이트는 두번 연산하면 원래의 상태로 되돌아옵니다.

이는 블로흐 구 상에서 직관적으로 확인할 수 있습니다.

파울리 게이트가 각각의 축을 기준으로 $ \pi $만큼 회전하는 것을 두번하므로

결과 $ 2\pi $만큼 회전하여 한바퀴 돌아 원래 자리로 돌아오게 됩니다.

 

또한, $ \sigma_x $, $ \sigma_y $, $ \sigma_z $는 $I$와 함께 2x2 행렬의 기저를 형성합니다.

따라서 모든 단일 큐비트 회전은 이 행렬들의 선형 결합으로 표현되어집니다.

 

하다마드 게이트 (Hadamard gate)

하다마드 게이트는 양자 회로에서 가장 중요한 게이트 중 하나입니다.

이는 바로 하다마드 게이트가 중첩(superposition) 상태를 만들어내기 때문입니다.

$ \quad H = \dfrac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{\sqrt2} \big( | 0 \rangle \langle 0 | + | 0 \rangle \langle 1 | + | 1 \rangle \langle 0 | - | 1 \rangle \langle 1 | \big)$

$ \qquad \Rightarrow \; \begin{cases}H|0\rangle = \dfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = |+\rangle \\ \\ H|1\rangle = \dfrac{1}{\sqrt2} \big( | 0 \rangle \langle 0 | + | 0 \rangle \langle 1 | + | 1 \rangle \langle 0 | - | 1 \rangle \langle 1 | \big)|1\rangle = \dfrac{1}{\sqrt2}\big(|0\rangle-|1\rangle\big)=|-\rangle \\ \\ H|+\rangle=|0\rangle, \quad H|-\rangle=|1\rangle \end{cases} $

 

위의 결과에서 하다마드 게이트는 $|0\rangle$, $|1\rangle$를 $|+\rangle$, $|-\rangle$로 바꾸는 것을 알 수 있습니다.

따라서 하다마드 게이트는 x와 z 기저를 바꾸는 데에 사용됩니다.

예를 들어 어떤 상태에 하다마드 게이트를 적용하고 z-측정하는 것은 x-측정하는 것과 같습니다.

 

이와 비슷하게, $S=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}$는 위상 $\phi$에 $90^{\circ}$를 더합니다.

 

$ \quad S|+\rangle=|+i\rangle, \quad S|-\rangle=|-i\rangle $

 

따라서 $ S \cdot H $는 z와 y 기저를 바꾸는 데에 사용됩니다.

 

 

 

다음 글에서는 여러개의 양자 상태를 나타내는 방법과, CNOT 게이트에 대해 알아봅니다.