4. 블로흐 구

블로흐 구 (Bloch sphere)

블로흐 구는 앞서 공부한 디랙 표기법과 마찬가지로 양자 상태를 표현하는 방법 중 하나입니다.

디랙 표기법은 수식으로 양자 상태를 다루는 것에 중점을 둔 반면,

블로흐 구는 한 큐비트의 양자 상태를 시각적으로 표현하는 것에 중점을 둡니다.

블로흐 구를 활용하면 수식으로 표현하는 것보다 더욱 직관적으로 상태를 확인할 수 있지요.

 

이전 글에서 다룬 기저에 대한 내용을 떠올려봅시다.

모든 양자 상태는 정규화되어 있으며, 임의의 직교 기저를 선택하여 표현할 수 있습니다.

여기서 $ \big \{ \left|0\right>, \left|1\right> \big \} $을 기저로 선택하면 임의의 상태를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

$\quad \left|\psi\right> = \cos{\dfrac{\theta}{2}} \left|0\right> + e^{i\phi}\sin{\dfrac{\theta}{2}}\left|1\right> \quad \text{where} \; \phi \in [0, 2\pi], \theta \in [0, \pi] $

 

여기서 $ \phi $는 상대적 위상을 나타내고, $\theta$는 $\left|0\right>$ 또는 $\left|1\right>$를 측정할 확률을 결정합니다.

 

$ \quad P(\left|0\right>) = \cos^2{\dfrac{\theta}{2}}, \; P(\left|1\right>) = \sin^2{\dfrac{\theta}{2}} \quad ( \because \text{Born rule} ) $

 

이로부터 모든 상태는 반지름이 $ \left| \vec{r} \right| = 1 $인 구의 표면으로 표현될 수 있으며, 이를 블로흐 구라고 합니다.

임의의 상태에 대응되는 블로후 구면 상의 좌표는 다음과 같이 구면좌표계의 단위벡터로 표현됩니다.

 

$ \quad \text{Bloch vector :} \quad \vec{r}=\begin{pmatrix} \sin{\theta}\cos{\phi} \\ \sin{\theta}\sin{\phi} \\ \cos{\theta} \end{pmatrix} $

 

다음은 블로흐 구를 그림으로 나타낸 것입니다.

블로흐 구

$x, y, z$ 좌표축과의 교점들은 각각 $ \left| 0 \right>, \left| 1 \right>, \left| + \right>, \left| - \right>, \left| +i \right>, \left| -i \right> $에 대응됩니다.

 

$ \quad  \left| 0 \right> \;\;\; : \; \theta=0, \; \phi = \text{arbitary} \quad\;  \left| 1 \right> \;\;\; : \; \theta=\pi, \; \phi = \text{arbitary} $ 
$ \quad  \left| + \right> \;\; : \; \theta=\dfrac{\pi}{2}, \; \phi = 0 \qquad\quad\;\;\; \left| - \right> \;\; : \; \theta=\dfrac{\pi}{2}, \; \phi = \pi $ 
$ \quad  \left| +i \right> \; : \; \theta=\dfrac{\pi}{2}, \; \phi = \dfrac{\pi}{2} \qquad\quad\;\;  \left| -i \right> \; : \; \theta=\dfrac{\pi}{2}, \; \phi = \dfrac{3}{2}\pi $

블로흐 구를 보면, 이전 글에서 공부한 x-측정, y-측정, z-측정의 이름이 왜 붙게 되는지 이해할 수 있습니다.

가령, 기저 $\big\{ \left|0\right>, \left|1\right> \big\} $에 대한 측정을 하는 것은 z축 상에서 측정하는 것이라고 생각할 수 있겠습니다.

 

주의할 점

블로흐 구에서의 각도는 힐베르트 공간에서보다 두배 더 큽니다.

예를 들어, $ \left| 0 \right> $와 $\left| 1 \right> $는 직교하지만, 블로흐 구 상에서는 사이의 각이 180도입니다.

임의의 상태 $ \left|\psi\right> = \cos{\dfrac{\theta}{2}} \left|0\right> + e^{i\phi}\sin{\dfrac{\theta}{2}}\left|1\right> $에서,

$\theta$는 블로흐 구 상에서의 각이고, $\dfrac{\theta}{2}$가 실제 힐베르트 공간 상에서의 각입니다.

 

 

다음 글에서는 양자회로를 구성하는 기본단위인 양자 게이트를 소개합니다.