3. 직교 기저와 측정

직교 기저 (Orthogonal basis)

양자 상태를 표현하고 측정하는데에 있어서 우리는 직교 기저를 선택합니다.

이전 글에서 예시로 사용한 상태 $ \left| \psi \right> = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \big( \left|0\right> + \left|1\right> \big) $를 다시 봅시다.

상태 $ \left| \psi \right> $를 직교하는 상태들의 선형 결합으로 표현하는 방법은 무수히 많습니다.

위의 예시에서는 기저를 $ \big \{ \left| 0 \right>, \left| 1 \right> \big \} $ 로 선택하여 상태를 표현한 것이라고 할 수 있습니다.

측정 (Measurement)

큐비트 $q$의 양자 상태를 측정하는 양자 회로

중첩 상태는 측정을 하는 순간 확률에 따라 측정에 사용한 기저 상태 중 하나로 붕괴됩니다.

예를 들어, 기저 $ \{ \left| 0 \right>, \left| 1 \right> \} $에 대해서 측정을 하면 중첩 상태는 $ \left| 0 \right> $ 또는 $ \left| 1 \right> $ 둘 중 하나로 붕괴합니다.

이 두 상태는 $ \sigma_z $의 고유 상태(eigenstate)이므로, $ \big \{ \left| 0 \right>, \left| 1 \right> \big \} $에 대한 측정을 z-측정(z-measurement)라고 합니다.

$ \sigma_z $는 2x2 행렬로 표현되는 양자 게이트 중의 하나로, 추후에 양자 회로를 다룰 때 소개하겠습니다.

 

실제로는 무한히 많은 직교 기저가 존재하지만, 일반적으로 자주 사용되는 기저들은 다음과 같습니다.

 

$ \bigg \{ \left| + \right> := \dfrac{1}{\sqrt2} \big( \left| 0 \right> + \left| 1 \right> \big) , \left| - \right> := \dfrac{1}{\sqrt2} \big(\left| 0 \right> - \left| 1 \right> \big) \bigg \} $

$ \bigg \{ \left| +i \right> := \dfrac{1}{\sqrt2} \big( \left| 0 \right> + i\left| 1 \right> \big) , \left| -i \right> := \dfrac{1}{\sqrt2} \big(\left| 0 \right> - i\left| 1 \right> \big) \bigg \} $

 

위의 두 기저는 각각 $ \sigma_x, \sigma_y $의 고유 상태들에 해당하며, x-측정, y-측정이라고 합니다.

 

보른 규칙 (Born rule)

상태 $ \left| \psi \right> $를 기저 $ \big \{ \left| X \right>, \left| X \right>^\perp \big \} $에 대해 측정했을 때 상태 $ \left| X \right> $로 붕괴될 확률은 다음과 같이 주어집니다.

 

$ \quad P(X) = \big| \left<X\middle|\psi\right> \big|^2 , \quad \displaystyle\sum_{i} P(X_i)=1$

 

ex) 상태 $ \left|\psi\right>=\dfrac{1}{\sqrt3} \big( \left|0\right> + \sqrt2\left|1\right> \big) $을 기저 $ \big \{ \left| 0 \right>, \left| 1 \right> \big \} $에 대해 측정하였을 때

$ \quad P(0) = \Bigg| \left< 0 \middle| \dfrac{1}{\sqrt3} \big( \left|0\right> + \sqrt2\left|1\right> \big) \right> \Bigg|^2
= \Bigg| \sqrt{\dfrac{1}{3}} \left< 0 \middle| 0 \right>+\sqrt{\dfrac{2}{3}} \left< 0 \middle| 1 \right> \Bigg|^2 = \dfrac{1}{3} \quad \big(\because \left<0\middle|0\right> = 1, \left<0\middle|1\right> = 0 \big)$

$ \quad P(1) = 1 - P(0) = \dfrac{2}{3} $

이므로 상태 $\left|\psi\right>$는 $\dfrac{1}{3}$의 확률로 $\left|0\right>$으로 붕괴하며, $\dfrac{2}{3}$의 확률로 $\left|1\right>$으로 붕괴합니다.

 

ex) 상태 $ \left|\psi\right>=\dfrac{1}{\sqrt2} \big( \left|0\right> - \left|1\right> \big) $을 기저 $ \big \{ \left| + \right>, \left| - \right> \big \} $에 대해 측정하였을 때

$ \quad P(+) = \big| \left<+\middle|\psi\right> \big|^2 = \bigg| \dfrac{1}{\sqrt2} \big( \left< 0 \right| + \left< 1 \right| \big) \cdot \dfrac{1}{\sqrt2} \big( \left| 0 \right> - \left| 1 \right> \big)\bigg|^2 = \dfrac{1}{4} \big| \left< 0 \middle| 0 \right> - \left< 0 \middle| 1 \right> + \left< 1 \middle| 0 \right> - \left< 1 \middle| 1 \right> \big|^2 = 0 $

$ \quad P(-) = 1 - P(+) = 1 $

이므로 상태 $\left|\psi\right>$는 $0$의 확률로 $\left|+\right>$으로 붕괴하며, $ 1 $의 확률로 $\left|-\right>$으로 붕괴합니다.

눈썰미가 좋으신 분들은 주어진 $\left|\psi\right>$가 애초에 $\left|-\right>$임을 알아 차리셨을 겁니다.

 

 

다음 글에서는 양자 상태를 시각적으로 나타내는 블로흐 구를 소개합니다.