2. 디랙 표기법 (브라-켓 표기법)

디랙 표기법

슈뢰딩거의 고양이는 살아있는 상태와 죽은 상태가 중첩되어있다.

디랙 표기법(Dirac notation)은 양자 상태를 표현하기 위해 사용되는 방법 중 하나입니다.

1939년 폴 디랙이 고안하였으며, 브라-켓 표기법(Bra-ket notation)이라고도 합니다.

 

정의

$a, b$가 복소수 성분을 가지는 2차원 벡터일 때, (N차원 벡터로 확장 가능)

켓 (ket)

$ \qquad \text{Ket : } \quad \left| a \right> = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}  $

브라 (bra)

$ \qquad \text{Bra : } \quad \left< b \right| = \left| b \right>^\dagger = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}^\dagger = \begin{pmatrix} b_1^* & b_2^* \end{pmatrix} $

브라-켓 (bra-ket)

$ \qquad \text{Bra-ket : } \quad \left< b \middle| a \right>= a_1b_1^*+a_2b_2^* = \left< a \middle| b \right>^* $

켓-브라 (ket-bra)

$ \qquad \text{Ket-Bra : } \quad |a\rangle\langle b|=\begin{pmatrix} a_1b_1^* & a_1b_2^* \\ a_2b_1^* & a_2b_2^* \end{pmatrix} $

 

켓은 열벡터와 같으며, 브라는 켓의 에르미트 수반, 즉 켤레 전치를 취한 것과 같습니다.

브라-켓과 켓-브라의 경우 행렬의 곱 연산을 하는 것과 동일합니다.

브라-켓의 경우 (행벡터)(열벡터)의 형태로 결과가 스칼라값이 나오는 내적과 같습니다.

켓-브라의 경우 (열벡터)(행벡터)의 형태로 결과가 NxN 행렬이 나옵니다.

 

성질

모든 양자 상태는 정규화(normalized)되어있습니다.

 

$ \qquad \left< \psi \middle| \psi \right> = 1 $

 

ex) $ \left| \psi \right> = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( \left|0\right> + \left|1\right> \right) = \begin{pmatrix} 1/\sqrt2 \\ 1/\sqrt2 \end{pmatrix} $

 

 

브라-켓의 결과 0이 나오는 두 양자 상태는 직교(orthogonal)합니다.

 

$ \qquad \left< \psi \middle| \phi \right> = 0 \quad \Leftrightarrow \quad  \psi, \phi : \text{Orthogonal} $

 

ex) 두 상태 $ \left| 0 \right>=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},  \left| 1 \right>=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $는 직교합니다.

 

$ \qquad \because \left< 0 \middle| 1 \right> = 1\cdot0 + 0\cdot1 = 0 $

 

 

위 예제에서 정의한 $ \left|0\right>, \left|1\right> $는 앞으로 계속 사용됩니다.

다음 글에서는 직교 기저와 측정에 대해 다룹니다.